Bolcmaņa konstante

Apskatīt video Khan Academy platformā: Khan AcademyBoltzmann's constant

Transkripts:
00:01
- [Pasniedzējs] Parunāsim par Bolcmaņa konstanti.
00:03
Pirmkārt, tā ir nosaukta par godu šim vīram, Ludvigam Bolcmanim,
00:06
kurš bija ģēnijs.
00:08
Viņš dzīvoja 1800. gadu beigās un 1900. gadu sākumā,
00:12
un viņš bija modernās atomu teorijas tēvs,
00:16
viens no lielākajiem atbalstītājiem, agrīnajiem atbalstītājiem,
00:19
idejai, ka pasaule sastāv no atomiem un molekulām.
00:22
Mums tas tagad šķiet acīmredzami,
00:24
bet pirms 120 gadiem tas noteikti nebija acīmredzami,
00:27
un daži no viņa laika gudrākajiem cilvēkiem
00:30
kategoriski nepiekrita Bolcmanim,
00:32
un Bolcmanim šīs idejas bija jāaizstāv atkal un atkal.
00:35
Un ar atomu teoriju es domāju šo.
00:37
Ja tev būtu trauks ar, teiksim, jebko,
00:39
tas varētu būt metāla klucis, bet pieņemsim, ka tā ir gāze,
00:42
pieņemsim, ka tas ir trauks, un tas ir pilns ar gaisu.
00:44
Šķiet, ka gaiss šeit ir nepārtraukts,
00:48
vai, piemēram, zelts, ja tas būtu zelta klucis,
00:50
zelts ir nepārtraukts.
00:52
Bet mēs tagad zinām, un Bolcmanis zināja,
00:55
ka tas patiesībā sastāv no atomiem un molekulām.
00:57
Pirms 120 gadiem tas nebija acīmredzami,
00:59
jo atomus un molekulas nevar redzēt.
01:01
Ja šis būtu, teiksim, trauks ar tvaiku,
01:04
un tu tajā ieliktu roku,
01:05
es paņēmu savu roku,
01:07
es ieliku roku šajā tvaika traukā,
01:10
es to pamanītu, es zinātu, ka kaut kas notiek.
01:12
Manai rokai sāktu palikt karsti.
01:14
Šeit notiek enerģijas pārnese,
01:16
bet nebija skaidrs, kāds tieši ir mehānisms.
01:19
Vai tā ir jauna veida enerģija?
01:20
Vai tā ir kāda no mūsu vecajām enerģijām, tikai citādā veidolā?
01:24
Bolcmaņa lielais apgalvojums un revolucionārā ideja bija tāda, ka
01:27
šī gāze, ja tas ir, teiksim, tvaiks,
01:30
patiesībā sastāv no atomiem un molekulām.
01:32
Šīs gāzes molekulas šeit skraida apkārt.
01:36
Šeit ir vienkārši mazas daļiņas.
01:37
Un tas, ko tu patiesībā jūti,
01:40
ir šīs daļiņas, kas atsitas pret tavu roku,
01:43
tava roka tiek vienkārši bombardēta ar šīm daļiņām.
01:46
Bet tās ir tik mazas, un to ir tik daudz,
01:49
ka nevar īsti pateikt, ka tās ir daļiņas.
01:51
Viss izskatās pilnīgi nepārtraukts.
01:54
Bolcmanim šī siltumenerģija
01:56
nemaz nav jauna veida enerģija.
01:58
Viss, kas tas ir, šī siltumenerģija, ko tu jūti,
02:02
ir tikai kinētiskā enerģija,
02:03
un, ja tas ir tvaiks, tā ir tikai kinētiskā enerģija
02:06
H2O molekulām, kas šeit lido apkārt
02:09
ar lielu ātrumu.
02:10
Un jo ātrāk tās kustas, jo lielāka ir sadursme
02:13
ar tavu roku, kas pārnes vairāk enerģijas.
02:16
Jo ātrāk tās kustas, jo karstāks šeit šķiet.
02:19
Tātad, pēc Bolcmaņa domām, teikt, ka
02:20
kaut kam ir augsta temperatūra,
02:22
ja tu saki, ka temperatūra ir liela,
02:24
ja ārā ir karsts,
02:26
tas ir nedaudz lieki.
02:28
Mums jau bija vārds, ar ko to apzīmēt.
02:29
Mēs varētu vienkārši teikt, ja ir augsta temperatūra,
02:32
tas, ko mēs patiesībā domājam, ir, ka vidējā kinētiskā enerģija
02:34
ārā esošajām gāzes molekulām ir liela.
02:37
Tātad, ja gāzei ir augsta temperatūra,
02:39
šo molekulu vidējā kinētiskā enerģija ir liela.
02:42
Tāpēc ir sāpīgi, kad tās ietriecas tavā ādā,
02:46
jo tās nodod kinētisko enerģiju
02:48
tavā rokā esošajām molekulām,
02:49
un, kad tava roka absorbē pārāk daudz enerģijas,
02:51
šīs molekulas sāk kustēties,
02:53
tava āda sāk tikt bojāta,
02:55
tu vari apdegt.
02:56
Šo bieži dēvē par kinētiski molekulāro
02:59
temperatūras skaidrojumu.
03:01
Un šīs teorijas detaļas
03:03
bija viens no Ludviga Bolcmaņa
03:05
lielākajiem ieguldījumiem zinātnē.
03:07
Bet kāds tam visam
03:08
ir sakars ar Bolcmaņa konstanti?
03:10
Labi, atbrīvosimies no šī visa.
03:12
Tu droši vien esi dzirdējis par ideālās gāzes likumu,
03:13
pV = nRT.
03:15
Atceries, T ir temperatūra, ko mēra kelvinos.
03:19
p ir spiediens, un es šo spiedienu mērīšu,
03:22
es izvēlēšos to mērīt paskālos.
03:24
V ir tilpums,
03:25
es izvēlēšos to mērīt kubikmetros.
03:28
Un n, mazais n, atceries, mazais n ir
03:31
gāzes molu skaits.
03:34
Un, ja esi aizmirsis, kas ir moli,
03:36
n, molu skaits, ir definēts kā
03:38
lielais N, molekulu skaits gāzē,
03:41
kopējais molekulu skaits gāzē,
03:44
dalīts ar konstanti, un šo konstanti sauc
03:47
par Avogadro skaitli.
03:48
Un, ja esi aizmirsis Avogadro skaitli,
03:50
Avogadro skaitlis ir 6,02 * 10^23,
03:57
un tik daudz molekulu ir vienā molā.
04:01
Tātad katrā gāzes molā,
04:03
tas, ko mēs saprotam ar vienu molu gāzes,
04:05
ir 6,02 * 10^23 molekulas.
04:08
Un, ja izvēlies šīs mērvienības,
04:10
šis R, šī gāzu konstante, R tiek saukta par gāzu konstanti,
04:14
un tai ir vērtība, R vērtība ir
04:16
8,31 džouli uz molu un kelvinu.
04:23
Tā ir gāzu konstante R ar šīm mērvienībām.
04:26
Bet šie ir diezgan makroskopiski lielumi,
04:28
spiediens, tilpums, temperatūra un moli.
04:31
Pat moli, runājot par vienu vai diviem moliem,
04:33
nozīmē runāt par milzīgu molekulu skaitu.
04:36
Tu it kā ignorē dažas mikroskopiskas detaļas,
04:39
tāpēc alternatīvs veids, kā uzrakstīt ideālās gāzes likumu, ir
04:43
p * V = lielais N, aizmirsti par moliem.
04:48
Pieņemsim, ka mēs gribam runāt par
04:49
to, cik daudz ir molekulu.
04:51
Tā vietā, lai rakstītu mazo n,
04:52
rakstīsim lielo N, molekulu skaitu.
04:55
Mums būtu vajadzīga cita konstante,
04:57
jo mēs reizināsim ar to pašu T.
04:59
Tātad, atkal, šis T joprojām ir temperatūra kelvinos.
05:03
p joprojām ir spiediens paskālos.
05:06
V ir tilpums, atkal, kubikmetros.
05:09
N, tā vietā, lai būtu molu skaits,
05:11
tagad ir molekulu skaits,
05:14
un tas nozīmē, ka mums šeit ir vajadzīga jauna konstante.
05:16
Mums vajag citu konstanti,
05:17
un šai konstantei ir jābūt ļoti, ļoti mazai.
05:20
Pārējais viss ir tas pats.
05:21
p * V un T ir tie paši.
05:23
Un viss, ko es izdarīju, bija aizstāt mazo n, molu skaitu,
05:27
ar lielo N, molekulu skaitu,
05:28
tāpēc šis būs milzīgs skaitlis, ko mēs ievietosim
05:31
šajā vietā tagad.
05:32
Tā vietā, lai ievietotu, teiksim, 2,
05:34
ja es šeit ievietotu 2 molus, skaitli 2,
05:37
šeit apakšā es ievietotu 2 reiz šo.
05:41
Tātad es ievietotu 12,04 * 10^23.
05:45
Tā kā šis ir milzīgs skaitlis,
05:47
man ir vajadzīga konstante, kas ir ļoti maza,
05:50
jo tam ir jābūt līdzsvarā.
05:51
Mēs zinām, ka n * R ir jābūt tādam pašam
05:54
kā lielais N reiz šī konstante,
05:57
jo pārējais ir tas pats.
05:59
Šī kreisā puse ir tāda pati, un T ir tāds pats.
06:02
Tātad, ja tas viss ir konsekventi,
06:04
un n * R ir jābūt vienādam ar
06:06
N reiz šī jaunā konstante,
06:07
un šī jaunā konstante ir Bolcmaņa konstante.
06:11
Tas ir mazais burts k ar indeksu B,
06:13
lai apzīmētu Bolcmaņa konstanti.
06:15
Kāda ir Bolcmaņa konstantes vērtība?
06:17
Mēs to varam atrast diezgan viegli.
06:19
Mēs zinām, ka mazais n * R
06:21
ir jābūt vienādam ar lielo N reiz Bolcmaņa konstanti,
06:25
tāpēc, ja mēs vienkārši atrisinām šo attiecībā pret Bolcmaņa konstanti,
06:28
mēs iegūsim mazo n dalīts ar lielo N reiz R.
06:33
Bet kas ir mazais n dalīts ar lielo N?
06:35
Paskaties augstāk, mēs varam to izdomāt.
06:36
Mazais n dalīts ar lielo N,
06:38
ja es šo atrisinu attiecībā pret mazo n dalīts ar lielo N,
06:40
tas, ko es iegūšu, ir, ja es abas puses dalu ar lielo N,
06:44
es iegūstu 1 dalīts ar Avogadro skaitli.
06:47
Mazais n dalīts ar lielo N šeit ir Avogadro skaitlis,
06:50
jeb 1 dalīts ar Avogadro skaitli.
06:53
Es iegūstu, ka 1 dalīts ar Avogadro skaitli,
06:55
reiz gāzu konstante, šis 8,31,
06:58
ir Bolcmaņa konstante.
06:59
Ja to izrēķina, gāzu konstante, kas ir 8,31
07:04
džouli uz molu un kelvinu,
07:07
un dala ar Avogadro skaitli, kas ir 6,02
07:12
* 10^23 molekulas uz molu,
07:16
tu iegūsi Bolcmaņa konstanti,
07:18
kas ir vienāda ar 1,38 * 10^(-23)
07:24
džouli uz kelvinu.
07:27
Šī ir Bolcmaņa konstante,
07:29
šis skaitlis šeit ir Bolcmaņa konstante.
07:31
Kāpēc mums rūp Bolcmaņa konstante?
07:33
Tā ļauj mums uzrakstīt
07:35
mikroskopiskāk orientētu versiju
07:38
ideālās gāzes likumam, kas koncentrējas uz
07:41
molekulu skaitu, nevis molu skaitu,
07:44
un šis skaitlis parādās
07:46
visur statistiskajā un siltuma mehānikā.
07:49
Tā ir viena no svarīgākajām konstantēm
07:51
visā siltuma fizikā, patiesībā.
07:53
Tā bija tik svarīga, ka uz paša Bolcmaņa kapa pieminekļa,
07:57
ja tu aizej uz Bolcmaņa kapu,
07:59
tur ir biste un kapakmens,
08:01
tas īstenībā neizskatās pēc krusta,
08:03
bet tur ir kaps
08:06
ar lielu uzrakstu, un tur ir uzraksts.
08:08
Lielais uzraksts ir vienādojums,
08:11
S = Bolcmaņa konstante * log W.
08:17
Šis, iespējams, bija viņa vissvarīgākais ieguldījums,
08:20
un tas nosaka, ka sistēmas entropija
08:22
ir vienāda ar, šis k ir Bolcmaņa konstante,
08:26
mēs tikko par to runājām.
08:27
Log, rakstīts l-o-g, bet mūsdienās mēs lietojam ln,
08:31
jo patiesībā viņi šeit domāja naturāllogaritmu,
08:34
un mūsdienās ir pieņemts, ka l-o-g ir logaritms ar bāzi 10,
08:38
bet šis vienādojums patiesībā attiecas uz naturāllogaritmu.
08:41
Un W, W ir nedaudz noslēpumains, tāpat kā entropija.
08:44
W ir mikrostāvokļu skaits.
08:47
Ja tev būtu makroskopiska sistēma,
08:49
un tu gribētu zināt mikroskopiskā līmenī,
08:51
kādi ir visi veidi, kā es varu sakārtot savas daļiņas
08:55
ar noteiktiem ātrumiem, sadalījumiem un pozīcijām,
08:57
tā, lai tas izskatītos identiski,
09:00
makroskopiskais stāvoklis kādam, kurš stāv šeit.
09:05
Viņi skatītos uz šo lietu un teiktu:
09:06
tas ir tieši tāds pats stāvoklis.
09:08
Bet daļiņas iekšā dara kaut ko citu.
09:10
Tas ir identisks tikai makroskopiskā līmenī.
09:14
Cik veidos to var izdarīt,
09:17
un joprojām panākt, ka makroskopiskais skats
09:19
šai personai no ārpuses ir identisks?
09:21
To mēra šis lielums,
09:22
mikrostāvokļu skaits.
09:24
Un, ja tu ņem Bolcmaņa konstanti
09:25
un reizini ar šī skaitļa naturāllogaritmu,
09:28
tas dod tev priekšstatu par entropiju.
09:30
Entropija ir ļoti noslēpumaina un interesanta,
09:32
tā ir saistīta ar nekārtību vai pieejamo enerģiju sistēmā.
09:36
Man šobrīd nav pietiekami daudz laika, lai to aprakstītu,
09:38
bet, ja tev ir laiks, tev vajadzētu to papētīt.
09:40
Tas ir noslēpumaini un mulsinoši,
09:42
un brīnišķīgi vienlaikus.

Kopsavilkums

Šajā video autors iepazīstina ar Ludvigu Bolcmani un viņa kinētiski molekulāro temperatūras skaidrojumu, saskaņā ar kuru temperatūras maiņa ir saistīta ar molekulu kinētiskās enerģijas izmaiņām. Video parāda, kā, pārrakstot ideālās gāzes likumu no makroskopiska pieraksta ar vielas daudzumu uz mikroskopiskāku pierakstu ar molekulu skaitu, rodas nepieciešamība ieviest jaunu konstanti — Bolcmaņa konstanti. Tiek veikta šīs konstantes skaitliskā noteikšana un mērvienību analīze, uzsverot tās lomu kā saikni starp makroskopiskajiem lielumiem (spiedienu, tilpumu, temperatūru) un mikroskopisko molekulu kustību. Video noslēgumā īsi pieminēta Bolcmaņa entropijas formula, skaidrojot entropiju kā sistēmas mikrostāvokļu skaita mēru.

Jēdzieni: atomi, molekulas, temperatūra, molekulu vidējais ātrums, kinētiskā enerģija, spiediens, tilpums, vielas daudzums, gāzu konstante, Bolcmaņa konstante, entropija, mikrostāvokļu skaits.

Video spiedienu apzīmē ar lielo burtu PP, savukārt mācību literatūrā latviešu valodā parasti lieto mazo burtu pp.

Eksperta komentārs

Average kinetic energy of a particle in an ideal gas:

⟨Ekin⟩=32kBT\langle E_{\text{kin}} \rangle = \tfrac{3}{2} k_B T

Saite uz terminu: Stefana–Bolcmaņa likums Vai, ja būtu nepieciešams ielikt saiti uz terminu locījumā, piemēram uz Stefana–Bolcmaņa likumu